Support courbe
Comme nous l’avons vu dans l’article précédent, la forme d’un lambeau détaché d’un film mince adhésif est invariablement triangulaire limitant ainsi sa longueur . Si sa largeur initiale vaut , sa longueur sera avec
où est l’épaisseur de l’adhésif, est l’angle de “peeling” mesuré en radian, c’est-à-dire l’angle avec lequel on détache la languette adhésive, est le module de flexion de la feuille adhésive ( étant le module de Young du matériau composant la feuille), est l’énergie d’adhésion par unité de surface et est l’énergie de fracture par unité de surface.
Cependant, la forme d’un lambeau n’est invariablement triangulaire que si le film mince est collé sur un support plan. Si le support est courbe d’autres formes de lambeau peuvent être obtenues. Comme illustré sur la figure ci-dessus :
-
Prenez, par exemple, un tuyau d’évacuation d’eau en plastique ayant un diamètre valant cm et ayant une longueur d’environ 10 cm. Coupez le en deux dans le sens de la longueur de façon à obtenir deux demi coques cylindriques (cette opération sera réalisée par un adulte avec un outil rotatif de type Dremel, attention de ne pas se couper!).
-
Collez un adhésif sur l’une des demi-coques cylindriques et faites y deux incisions parallèles de quelques centimètres de long (ligne rouge) et séparées d’une distance .
-
Détachez la partie ainsi libérée de l’adhésif et tenez-la de façon à ce que le lambeau forme un angle avec le support.
-
Si les opérations 2 et 3 ont été réalisées sur l’intérieur de la demi-coque cylindrique, on observe que le front de décollement est incurvé dans la direction du déplacement (pointillés rouges).
-
Si les opérations 2 et 3 ont été réalisées sur l’extérieur de la demi-coque cylindrique, on observe que le front de décollement est incurvé dans la direction opposée au déplacement (pointillés rouges).
Suivant que l’adhésif se trouve sur l’intérieur ou l’extérieur du cylindre, la forme du front de décollement est différente. On a donc une brisure de symétrie qui se traduit dans les formes de lambeau obtenues. En effet, si maintenant vous tirez sur le lambeau en essayant de garder un angle constant et une vitesse constante du front de décollement, on obtient les formes montrées dans la figure ci-dessous.
-
Forme triangulaire de lambeau obtenue sur un support plan.
-
Forme acuminée obtenue en détachant le lambeau de la surface extérieure du cylindre (, voir ci-après). La convergence des deux fissures est accélérée conduisant à un lambeau de plus faible longueur (comparé à un support plan) pour une largeur de départ identique.
-
Forme spatulée obtenue en détachant le lambeau de la surface intérieure du cylindre lorsque (, voir ci-après). On obtient cette fois des trajectoires divergentes pour les deux fissures conduisant à une longueur de lambeau infinie (en pratique, elle sera égale à la longueur de l’adhésif collé sur le support bien évidemment).
-
Forme elliptique obtenue en détachant le lambeau sur la surface intérieure du cylindre lorsque (, voir ci-après). Bien que nous nous trouvons encore sur la surface intérieure du cylindre, on obtient de nouveau des trajectoires convergentes pour les deux fissures si la largeur initiale du lambeau est inférieure à une certaine largeur critique . Ce comportement est attendu puisque à petite échelle le support semblera plan. Pensez, par exemple, à la courbure de la Terre qui n’est pas significative à petite échelle, comme l’échelle d’un quartier ou d’une ville.
On obtient donc une plus grande variété de formes lorsqu’un support courbe est utilisé. On obtient même des trajectoires divergentes où les deux fissures ne se rejoignent plus.
Théorie : équation des trajectoires
Pour comprendre les formes de lambeau obtenues, il faut observer que le front de décollement est incurvé lorsque le support est courbe. Pour un support plan, ce front est rectiligne et la direction de sa normale coïncide avec la direction de propagation (voir panneau d de la figure ci-dessous). Lorsque le front est incurvé, la normale au front présente un angle avec la direction de propagation. Suivant qu’on se trouve à l’extérieur ou l’intérieur du cylindre qui sert de support pour le film adhésif, cet angle vient s’ajouter ou se soustraire à l’angle que feraient les trajectoires des fissures avec la direction de propagation sur un support plan. Pour chaque position du front de décollement, l’angle que fait la (tangente à la) trajectoire avec la direction de propagation, n’est plus mais
où vaut sur l’extérieur du cylindre et sur l’intérieur de ce dernier. Notez que cette convention de signe pour est arbitraire et que les signes opposés auraient pu être utilisés à condition de changer le signe dans l’expression de .
L’expression de est purement géométrique et est obtenue à l’aide du panneau c de la figure ci-dessus :
Puisque nous connaissons maintenant l’angle que fait la tangente à la trajectoire avec la direction de propagation en tout point, nous pouvons calculer la forme de la trajectoire. En utilisant le système d’axes montré dans la figure ci-dessus, on a, par définition de la tangente, que
En pratique, est toujours bien plus petit que 1 (mesuré en radian); il vaut environ 0.1 en pratique. De plus, on supposera pour simplifier les calculs que , ce qui signifie que la largeur du lambeau sera petite par rapport à la courbure du front de décollement. Dans ces conditions () on a
En utilisant l’expression d’un sinus d’une somme, on obtient
En utilisant le fait que et tels que , et , on obtient finalement l’équation différentielle décrivant la forme des trajectoires
Comme puisque l’axe coupe le lambeau en deux parties égales, on a encore
Notons que si le support est plan, alors et l’équation se réduit à dont la solution, , est l’équation d’une droite formant un angle avec l’axe (si ). On retrouve donc bien une forme triangulaire pour le lambeau.
A ce stade, nous devons encore connaitre la relation existante entre le rayon de courbure du front et le rayon de courbure du support . Cette expression, que nous ne dérivons pas dans cette note mais qui peut être trouvée ici, est
où est l’angle de peeling. Notons que même si le support est courbe, lorsque et l’équation se réduit à celle décrivant les trajectoires sur un support plan. Donc, quand on détache le lambeau avec un angle de peeling de , on obtient de nouveau une forme triangulaire pour le lambeau (voir figure ci-dessous).
Théorie : solution de l’équation
Si on définit les nouvelles variables et , l’équation différentielle décrivant la forme des lambeaux s’écrit alors simplement
La solution générale de cette équation est
où on a utilisé le fait que et où est un point arbitraire le long de la trajectoire (constante d’intégration).
Extérieur du cylindre.
Pour , nous avons des trajectoires convergentes. En effet, pour cette valeur de , la solution est
On constate que quelle que soit la valeur de , le coefficient de l’exponentielle est toujours positif. Le membre de droite de cette équation est donc la différence entre deux nombre positif, le premier variant entre et suivant la valeur de (qui peut être négatif). Il existe donc toujours une valeur de pour laquelle est nulle : . Il s’agit du point où se rencontre les deux trajectoires des fissures. Pour représenter graphiquement cette solution et la comparer aux données expérimentales, on choisira naturellement de placer ce point de rencontre à l’origine des coordonnées. Pour ce faire, on choisit . La solution se réduit donc à
Cette relation est comparée aux données expérimentales dans le panneau supérieur de la figure ci-dessous (attention que par choix du système de coordonnées, les trajectoires se propagent vers les négatifs). L’accord entre la théorie et l’expérience est remarquable.
Intérieur du cylindre.
Pour , nous avons des trajectoires convergentes ou divergente suivant la valeur de , c’est-à-dire suivant la valeur de avec nos nouvelles variables. En effet, pour cette valeur de , la solution est
On constate cette fois que le signe du coefficient de l’exponentielle dépend de la valeur de .
-
Lorsque , le membre de droite de cette équation est la somme de deux nombres positifs et ne peut pas s’annuler. Il n’y a donc pas de point de rencontre entre les deux trajectoires; elles sont divergentes. Dans ce cas, il n’y a plus de point remarquable le long des trajectoires et le lambeau sera placé de manière arbitraire le long de l’axe des . On peut par exemple choisir de placer en la partie du lambeau ayant une largeur . Dans ce cas, l’équation décrivant la forme des lambeaux s’écrit
-
Lorsque , le premier terme du membre de droite est négatif et varie entre et . Il existe donc toujours une valeur de pour laquelle est nulle : . Il s’agit de nouveau du point où se rencontre les deux trajectoires des fissures. Pour représenter graphiquement cette solution et la comparer aux données expérimentales, on choisira aussi de placer ce point de rencontre à l’origine des coordonnées. Pour ce faire, on choisit . La solution se réduit donc à
Ces deux dernières relations sont comparées aux données expérimentales dans le panneau inférieur de la figure ci-dessous. L’accord entre la théorie et l’expérience est remarquable.
La largeur critique du lambeau séparant ces deux régimes est donnée par
Soit encore en utilisant l’expression de ,
où l’expression de est donnée au début de cette note. Lorsque , les trajectoires sont rectilignes et parallèles. Il s’agit évidemment d’un état instable puisqu’en pratique, il n’est jamais possible de choisir une largeur de lambeau ayant exactement une valeur donnée. La largeur sera soit légèrement supérieure ou inférieure à cette valeur critique.
Comme conclusion relativement anecdotique, on peut dire qu’une pièce avec des murs circulaires est plus simple à détapisser qu’une pièce avec des murs plans puisque dans ce cas nous nous trouvons à l’intérieur d’un cylindre. Si l’on détapisse verticalement (du bas vers le haut par exemple) et que la largeur initiale du lambeau est suffisamment grande, il est alors possible, en théorie, de décoller un lambeau allant du sol au plafond. Notons que la valeur de la largeur critique dépend de l’angle de peeling. Pour obtenir des trajectoires divergentes (et donc une longueur de lambeau illimitée), il faut . Cela se produira d’autant plus facilement que est petit. Il convient donc d’utiliser un angle de peeling petit.